Teorema de Euler para poliedros

Entre las relaciones geométricas que describen la estructura de los sólidos platónicos, destaca la establecida por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), cuya ecuación expresa de manera simple la conexión entre el número de vértices, aristas y caras de cualquier poliedro convexo, incluidos claramente a los sólidos platónicos. En su forma general, la relación se expresa como:

Ángulos poliédricos, diédros y centrales

Otro aspecto a resaltar es sobre su igualdad de ángulos poliédricos la cual es una condición goemétrica que asegura la homogeneidad del sólido. Un ángulo poliédrico o, también llamado ángulo sólido, se forma cuando varias caras se encuentran en un vértice, generando un espacio angular tridimensional que, en los sólidos platónicos, todos los ángulos poliédricos son congruentes, lo que significa que la disposición espacial de las caras en torno a cada vértice es idéntica en todo el sólido (Bertol, 2016).

Del mismo modo, el ángulo diédrico constituye otro elemento esencial en la estructura geométrica de los sólidos platónicos. Este ángulo se forma entre dos caras adyacentes que comparten una arista común, midiendo la inclinación entre los planos que las contienen (Bertol, 2016).

Ángulo diedro de un dodecaedro

Ya que todas las caras son polígonos regulares iguales y el mismo número de caras se encuentra en cada vértice, garantiza que todos los ángulos diedros sean congruentes entre sí (Romañach y Toboso, 2016, citados en Herrera et al., 2023). Esta condición implica que cada arista presenta la misma apertura espacial, asegurando la simetría tridimensional de la figura.

Por su parte, el ángulo central se define a partir de la relación entre el centro goemétrico del poliedro y los vértices del mismo. Este ángulo se forma al trazar líneas que unen el centro del sólido con los extremos de una arista, representando la proporción entre la distancia radial de los vértices y la apertura espacial de las caras. En los sólidos platónicos, este ángulo es constante, debido a que "Todas las aristas tiene la misma longitud" (Romañach y Toboso, 2016, citado en Herrera et al., 2023, p. 175).

Ángulo central de un dodecaedro

Las mididas de los ángulos diedros y centrales de los sólidos platónicos se resumen en la siguiente tabla:

Dualidad

La dualidad constituye una de las propiedades más fundamentales de los sólidos platónicos, ya que establece una correspondencia exacta entre los elementos geométricos de un poliedro y los de otro que se construye a partir de él. En términos formales, Quesada (2006) define este principio como:

Se define el poliedro \(P_d\) dual a un poliedro dado \(P_0\) como el poliedro resultante de tomar los centros de las caras del poliedro \(P_0\) y tomarlos como vértices de nuestro nuevo poliedro \(P_d\). El poliedro dual de un poliedro dual es el inicial: \((P_d)_d=P_0\). Así pues se establece una reciprocidad entre las caras del poliedro y los vértices de su dual, y los vértices del inicial y las caras del dual (p. 47).

Representación visual de la dualidad de los sólidos platónicos

De esta forma, si el poliedro original es un sólido platónico cuya notación de Schläfli es \(\{p,q\}\), entonces su dual es aquel cuya notación de Schläfli es \(\{q,p\}\). Es decir, la operación de dualidad sobre los conjuntos de los sólidos platónicos es cerrada, ya que la dualidad relaciona un sólido platónico con otro y no con un poliedro de otra familia.

La dualidad implica, por tanto, una relación de reciprocidad, donde cada cara del sólido original se transforma en un vértice del dual y viceversa, manteniendo el número de aristas constante. Esta correspondencia da lugar a los pares de sólidos duales entre sí: el hexaedro y el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, y el tetraedro consigo mismo, ya que tiene la misma cantidad de vértices que caras.

Dualidad de los Sólidos platónicos.