Sólidos Arquimedeanos

Los sólidos arquimedianos constituyen una categoría intermedia entre los sólidos platónicos y los sólidos irregulares, extendiendo el concepto de regularidad al permitir la combinación de distintas figuras poligonales bajo una misma estructura simétrica. De esta forma, “los sólidos arquimedianos, o sólidos de Arquímedes, o poliedros semirregulares, son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares de más de un tipo, mientras que en los sólidos platónicos, todas las caras son polígonos regulares de un solo tipo” (Sousa, 2014, p. 13). En este sentido, Anderson (2008) menciona que un poliedro es arquimediano “si todas sus caras son polígonos regulares y sus esquinas son iguales” (p. 4).

Los 13 sólidos arquimedeanos

Historia

Desde el punto de vista histórico, los sólidos arquimedianos “reciben su nombre del matemático, físico, ingeniero, inventor y astrónomo griego Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.), ya que fue él quien los estudió en el siglo III a.C.” (Sousa, 2014, p. 13), descubriendo así 13 poliedros convexos semirregulares partiendo de los 5 sólidos platónicos (Anderson, 2008). A pesar de que los escritos originales de Arquímedes sobre estos poliedros se perdieron, su estudio fue recuperado durante el Renacimiento, donde Pierro della Francesca junto con otros matemáticos y artistas de la época fueron redescubriendo estas figuras semirregulares, al punto de que en 1619, Johannes Kepler, en su obra Harmonices Mundi, completara la lista (Sousa, 2014).

Retrato de Arquimedes

Construcción geométrica

Tal como se mencionó anteriormente, los sólidos arquimedianos derivan directamente de los sólidos platónicos mediante transformaciones geométricas. Una de estas transformaciones es el truncamiento, el cual consiste en cortar los vértices o aristas de las figuras originales, generando nuevas caras y combinaciones de polígonos regulares en cada vértice. De este modo, tal como explica Anderson (2008), “los primeros cinco sólidos arquimedianos se crean truncando los sólidos platónicos originales” (p. 5), que serían el tetraedro truncado, el cubo truncado, el octaedro truncado, el dodecaedro truncado y el icosaedro truncado, en los cuales los vértices se reemplazan por polígonos regulares que se integran a la estructura inicial (Anderson, 2008).

Este método también permite obtener poliedros mixtos, como el cuboctaedro, generado al conectar los puntos medios de las aristas del cubo (Anderson, 2008). Incluso, algunas figuras pueden derivarse de más de un sólido platónico, como el icosidodecaedro, que “se puede crear truncando el dodecaedro truncado” (Anderson, 2008, p. 9).

Generación de los sólidos arquimedeanos por truncamiento

Otra forma de obtener sólidos arquimedianos es a través de la expansión, que consiste en desplazar radialmente las caras o aristas de un sólido, manteniendo su orientación y tamaño, y rellenando los espacios vacíos con nuevas figuras (Ball y Coxeter, 1987, citados en Anderson, 2008).

Ejemplo de expansión del hexaedro para obtener al rombicuboctaedro

La última transformación empleada para derivar sólidos arquimedianos es la esnubificación o rotación, un proceso que implica desplazar y girar las caras del poliedro original, generando cuerpos con una simetría menos evidente, por ejemplo, el cubo doblemente truncado o cubo romo que se obtiene cuando separamos las caras del cubo, las giramos y rellenamos los espacios formados entre las caras con 32 triángulos equiláteros, y lo mismo pasa con el dodecaedro doblemente truncado a partir del dodecaedro (Sousa, 2014).

Ejemplo de rotación del hexaedro para obtener al cubo doblemente truncado

En cuanto a sus propiedades métricas, se puede mencionar a la relación de Euler (\(V-E+F=2\), con \(V, E\) y \(F\) la cantidad de vértices, aristas y caras, respectivamente) debido a que, como se había explicado para los sólidos platónicos (ver Teorema de Euler para los sólidos platónicos), esta condición se aplica para todos los poliedros convexos independientemente si son regulares o no, tal como se observa en la siguiente tabla:

Teorema de Euler para los sólidos arquimedeanos

Asimismo, otra propiedad geométrica que tienen los sólidos arquimedianos es con respecto a sus ángulos y su número de vértices, la cual Anderson (2008, citado en Ball y Coxeter, 1987) establece que: